AXIOMAS

AXIOMAS

Los axiomas son proposiciones, o afirmaciones, que relacionan conceptos. Excepto el punto, la recta y el plano, todo otro concepto que se enuncie debe ser definido en función de los primeros. Nótese que éstos sólo afirman cosas terriblemente obvias.

Para facilitar su estudio se distinguen cinco grupos de axiomas:

Existencia, e Incidencia. Son aquellos que nos aseguran las condiciones de existencia de los puntos, rectas y planos. (sin estos no podríamos empezar a trabajar) y tambíen nos indican cómo inciden unos conceptos en los otros. Existen infinitos puntos, existen infinitos planos (que son conjuntos parciales e infinitos de puntos), también existen infinitas rectas (que también son conjuntos parciales e infinitos de puntos de un plano).

Para determinar una recta, son necesarios dos puntos (y solo dos) . En cambio, para determinar un plano son necesarios tres.

Para ver estos conceptos más gráficamente se puede observar que si se agarra un palo ""recto"" en un solo punto, el palo se balancea, mientras que si se toman dos, este queda fijo. Igualmente, se puede ver al agarrar una hoja de cartón desde uno o dos puntos (entonces se balancea como la recta) y que se fija si la agarramos en tres puntos.

Además, la recta es intuitivamente una figura plana así como una figura recta, si dos puntos de una recta están en un plano, toda la recta está en el plano y si dos puntos de una recta están en una recta, las rectas coinciden (son las mismas).


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Ordenación en la recta Estos axiomas nos ayudan a que la recta quede determinada como lo que conocemos como recta (o mejor dicho como nuestro ideal de recta)(tengase en cuenta que nunca la definimos).

Si selecciónamos dos puntos distintos en una recta, habrá un punto entre medio.

Si seleccionamos un punto cualquiera en una recta: el resto de los puntos de la recta quedan divididos en dos clases (los que están de un lado y los que están del otro).


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Continuidad Tambíen es valido lo inverso de lo que se acaba de decir. O sea que si existen dos clases en una recta (los que están de un lado y los que están del otro), existe un punto que las divide.

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División del plano Una recta, divide a los puntos del plano en dos categorías (los que están de un lado y los que están del otro)

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Movimiento y congruencia (o igualdad) En este se trabaja la idea de movimiento (como dar vuelta una caja, girarla, etc.) Pero solo se estudiaran como movimientos, aquellos que no alteren la ""forma"" del objeto (por lo que abrir una caja no se considera un movimiento).

Solo existe un moviento que transforma una semirrecta en otra y un semiplano determinado por la misma en otro determinado por la otra.