ANÁLISIS MATEMÁTICO

ANÁLISIS MATEMÁTICO

El análisis es una rama de las matemáticas que estudia los números reales, los complejos y sus funciones. Se empieza a desarrollar a partir del inicio de la formulación rigurosa del Cálculo y estudia conceptos como la continuidad, la integración y la diferenciabilidad de diversas formas.


HISTORIA

El análisis se origina en el siglo siglo XVII, en el que Newton y Leibniz inventan el cálculo. En dicho siglo y en el siglo XVIII, ciertos tópicos del análisis como el cálculo de variaciones, las ecuaciones diferenciales y ecuaciones en derivadas parciales, el análisis de Fourier y las funciones generadoras fueron desarrolladas principalmente para un trabajo de aplicación. Las técnicas del Cálculo fueron aplicadas con éxito en la aproximación de problemas discretos mediante los continuos.

A todo lo largo del siglo XVIII la definición del concepto de función estuvo sujeta a debate entre los matemáticos. En el siglo XIX, Cauchy fue el primero que fundó estableció el cálculo sobre unos firmes fundamentos lógicos mediante el uso del concepto de Sucesión de Cauchy. También inició la teoría formal del Análisis complejo. Poisson, Liouville, Fourier y otros, estudiaron ecuaciones en derivadas parciales y el Análisis armónico.

Mediado dicho siglo, Riemann introduce su teoría de la integración. En el último tercio del siglo XIX Weierstrass lleva a la aritmetización del análisis, ya que pensaba que el razonamiento geométrico era engañoso por naturaleza, e introduce la definición e-d de Límite. Entonces los matemáticos empezaron a preguntarse si no estarían asumiendo la existencia de cierto Continuo de números reales sin probar su existencia. Dedekind entonces construye los números reales mediante Cortaduras de Dedekind. Sobre la misma época, los intentos de refinar los teoremas de Integración de Riemann llevaron hacia el estudio del «tamaño» de los conjuntos de discontinuidad de funciones reales.

También, funciones «monstruos» (funciones continuas en ninguna parte, funciones continuas pero no diferenciables en ningún punto, Curva que llena el espacio) comenzaron a surgir. En este contexto Jordan desarrolló su teoría de medida, Cantor lo hizo con lo que ahora se llama teoría básica de conjuntos, y Baire prueba el Teorema de la categoría de Baire. A principios del siglo XX, el cálculo se formaliza usando Teoría de conjuntos. Lebesgue resuelve el problema de la medida, y Hilbert introduce los espacios de Hilbert para resolver ecuaciones integrales. La idea de espacios vectoriales normados estuvo en ciernes, y en los años 1920 Banach crea el Análisis funcional.


SUBDIVISIONES


El análisis, actualmente se divide en los siguientes campos:

Análisis real, esto es, el estudio formalmente riguroso de las derivadas e integrales de las funciones real-valuadas, lo que incluye el estudio de límites, Series de potencias y de las medidas.
Análisis funcional, que estudia espacios y funciones e introduce conceptos como los de espacios de Banach y espacios de Hilbert.
Análisis armónico, que trata de las Series de Fourier y de sus abstracciones.
Análisis complejo, que estudia funciones que van del Plano complejo hacia sí mismo y que son complejo-diferenciables, las funciones holomorfas.
Análisis no-standard, que investiga ciertos Números hiperreales y sus funciones y da un tratamiento riguroso de los números infinitesimales y los infinitamente grandes.

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

HISTORIA DE LAS MATEMÁTICAS

Matemáticas es el estudio de patrones en las estructuras de entes abstractos y en las relaciones entre ellas. Algunos matemáticos se refieren a ella como la «Reina de las Ciencias».

Aunque la matemática sea la supuesta «reina de las ciencias», ella misma no se considera una ciencia natural. Principalmente, los matemáticos definen e investigan estructuras y conceptos abstractos por razones puramente internas a la matemática, debido a que tales estructuras pueden proveer, por ejemplo, una generalización elegante, o una útil herramienta para cálculos frecuentes. Además, muchos matemáticos estudian sus áreas de preferencia simplemente por razones estéticas, viendo así la matemática como una forma de arte en vez de una ciencia práctica o aplicada. Sin embargo, las estructuras que los matemáticos investigan frecuentemente sí tienen su origen en las ciencias naturales, y muchas veces encuentran sus aplicaciones en ellas, particularmente en la Física.

La matemática es un arte, pero también una ciencia de estudio. Informalmente, se puede decir que la matemática es el estudio de los «números y símbolos». Es decir, es la investigación de estructuras abstractas definidas axiomáticamente utilizando la lógica y la notación matemática. Es también la ciencia de las relaciones espaciales y cuantitativas. Se trata de relaciones exactas que existen entre cantidades y magnitudes, y de los métodos por los cuales, de acuerdo con estas relaciones, las cantidades buscadas son deducibles a partir de otras cantidades conocidas o presupuestas. Otros puntos de vista pueden encontrarse en la Filosofía matemática.

No es infrecuente encontrar a quien describe la matemática como una simple extensión de los lenguajes naturales humanos, que utiliza una gramática y un vocabulario definidos con extrema precisión, cuyo propósito es la descripción y exploración de relaciones conceptuales y físicas. Recientemente, sin embargo, los avances en el estudio del lenguaje humano apuntan en una dirección diferente: los lenguajes naturales (como el español y el francés) y los lenguajes formales (como la matemática y los lenguajes de programación) son estructuras que son de naturaleza básicamente diferente.




CATEGORIAS

Se dice que la matemática abarca tres ámbitos:

Aritmética.
Geometría, incluyendo la Trigonometría y las Secciones cónicas.
Análisis matemático, en el cual se hace uso de letras y símbolos, y que incluye el álgebra, la geometría analítica y el cálculo.
Cada una de estas categorías se divide a su vez en pura o abstracta, en donde se consideran las magnitudes o cantidades abstractamente, sin relación a la materia; y en aplicada, la cual trata las magnitudes como substancia de cuerpos materiales, y por consecuencia se relaciona con consideraciones físicas.



HISTORIA

Históricamente, la matemática surgió con el fin de hacer los cálculos en el comercio, para medir la tierra y para predecir los acontecimientos astronómicos. Estas tres necesidades pueden ser relacionadas en cierta forma con la subdivisión amplia de las matemáticas en el estudio de la estructura, el espacio y el cambio.

El estudio de la estructura comienza con los números, inicialmente los números naturales y los números enteros.
Las reglas que dirigen las operaciones aritméticas se estudian en el álgebra elemental, y las propiedades más profundas de los números enteros se estudian en la teoría de números. La investigación de métodos para resolver ecuaciones lleva al campo del álgebra abstracta. El importante concepto de vector, generalizado a espacio vectorial, es estudiado en el álgebra lineal, y pertenece a las dos ramas de la estructura y el espacio. El estudio del espacio origina la geometría, primero la geometría euclídea y luego la trigonometría.

La comprensión y descripción del cambio en variables mensurables es el tema central de las ciencias naturales, y el cálculo. Para resolver problemas que se dirigen en forma natural a relaciones entre una cantidad y su tasa de cambio, y de las soluciones a estas ecuaciones, se estudian las ecuaciones diferenciales.

Los números usados para representar las cantidades continuas son los números reales. Para estudiar los procesos de cambio se utiliza el concepto de función matemática. Los conceptos de derivada e integral, introducidos por Newton y Leibniz, representan un papel clave en este estudio, que se denomina Análisis.

Por razones matemáticas, es conveniente para muchos fines introducir los números complejos, lo que da lugar al análisis complejo.

El análisis funcional consiste en estudiar problemas cuya incógnita es una función, pensándola como un punto de un espacio funcional abstracto.

Un campo importante en matemáticas aplicadas es la probabilidad y la estadística, que permiten la descripción, el análisis y la predicción de fenómenos que tienen variables aleatorias y que se usan en todas las ciencias.

El análisis numérico investiga los métodos para realizar los cálculos en computadoras.

TEOREMAS

TEOREMAS


Teniendo en cuenta los axiomas precedentes podemos demostrar una vasta cantidad de teoremas.

Podemos afirmar por ejemplo que entre dos puntos de una recta existen infinitos puntos (fijesé que eso no lo habíamos dicho), y para demostrarlo, alcanza con aplicar el axioma que nos indica que hay un punto entre ambos repetidas veces (primero entre los dos puntos dados y luego entre uno de los puntos dados y el punto indicado en el axioma, etc.)

También podemos afirmar que una recta cualquiera y un punto fuera de ella, determinan un plano (que contiene a la recta y al punto simultaneamente). La demostración se basa en observar que la recta está determinada por dos puntos (cualesquiera) de ésta, los tres puntos (el que teníamos y los de la recta) determinan un plano, que contiene al punto y a la recta (ya que la recta tiene dos puntos en el plano).

Como un ejemplo más complejo, podemos afirmár que dada una recta en un plano, existen infinitos puntos del plano que no pertenecen a la recta. Esto parece obvio, pero demostrarlo es complicado, primero, vemos que existe un punto dentro del plano y fuera de la recta (por el axioma que nos dice que la recta es un conjunto parcial de puntos), para demostrar que los puntos son infinitos, vemos que entre ese punto fuera de la recta y un punto cualquiera de la recta, hay infinitos puntos (recurriendo al primer teorema que enunciamos) y estos deben estar fuera de la recta (ya que si tubieran otro punto común las dos rectas coincidirían y eso es una contradicción, ya que aclaramos que el punto fuera de la recta estaba fuera de la recta)).

AXIOMAS

AXIOMAS

Los axiomas son proposiciones, o afirmaciones, que relacionan conceptos. Excepto el punto, la recta y el plano, todo otro concepto que se enuncie debe ser definido en función de los primeros. Nótese que éstos sólo afirman cosas terriblemente obvias.

Para facilitar su estudio se distinguen cinco grupos de axiomas:

Existencia, e Incidencia. Son aquellos que nos aseguran las condiciones de existencia de los puntos, rectas y planos. (sin estos no podríamos empezar a trabajar) y tambíen nos indican cómo inciden unos conceptos en los otros. Existen infinitos puntos, existen infinitos planos (que son conjuntos parciales e infinitos de puntos), también existen infinitas rectas (que también son conjuntos parciales e infinitos de puntos de un plano).

Para determinar una recta, son necesarios dos puntos (y solo dos) . En cambio, para determinar un plano son necesarios tres.

Para ver estos conceptos más gráficamente se puede observar que si se agarra un palo ""recto"" en un solo punto, el palo se balancea, mientras que si se toman dos, este queda fijo. Igualmente, se puede ver al agarrar una hoja de cartón desde uno o dos puntos (entonces se balancea como la recta) y que se fija si la agarramos en tres puntos.

Además, la recta es intuitivamente una figura plana así como una figura recta, si dos puntos de una recta están en un plano, toda la recta está en el plano y si dos puntos de una recta están en una recta, las rectas coinciden (son las mismas).


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Ordenación en la recta Estos axiomas nos ayudan a que la recta quede determinada como lo que conocemos como recta (o mejor dicho como nuestro ideal de recta)(tengase en cuenta que nunca la definimos).

Si selecciónamos dos puntos distintos en una recta, habrá un punto entre medio.

Si seleccionamos un punto cualquiera en una recta: el resto de los puntos de la recta quedan divididos en dos clases (los que están de un lado y los que están del otro).


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Continuidad Tambíen es valido lo inverso de lo que se acaba de decir. O sea que si existen dos clases en una recta (los que están de un lado y los que están del otro), existe un punto que las divide.

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División del plano Una recta, divide a los puntos del plano en dos categorías (los que están de un lado y los que están del otro)

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Movimiento y congruencia (o igualdad) En este se trabaja la idea de movimiento (como dar vuelta una caja, girarla, etc.) Pero solo se estudiaran como movimientos, aquellos que no alteren la ""forma"" del objeto (por lo que abrir una caja no se considera un movimiento).

Solo existe un moviento que transforma una semirrecta en otra y un semiplano determinado por la misma en otro determinado por la otra.

CLASES DE GEOMETRIAS

Teniendo en cuenta más axiomas se obtienen otras geometrías (en las cuales todo lo dicho hasta aquí es válido). Si damos por cierto el axioma del paralelismo de Euclides, obtenemos la Geometría euclidiana también conocida como geometría plana.

Agregando a estos los axiomas relativos al espacio, obtenemos la geometría espacial (estos últimos no son más que extensiones de los axiomas relativos al plano). La Geometría descriptiva, es la que se encarga de que los problemas posibilitar la resolución de los problemas de la geometría del espacio por medio de operaciones efectuadas en un plano.

Si agregamos otros axiomas, ya sean diferentes postulados de paralelismo o de existencia de conjuntos de puntos mayores que el plano (y menores que el espacio) se obtienen las geometrías no euclídeas

Útilizando los conocimientos de otras areas (y por lo tanto sus axiomas respectivos), se obtienen: la Geometría analítica, los métodos del álgebra y del análisis matemático.

Células de bio-combustible con chocolate

Los microorganismos utilizan diversos elementos para alimentarse, por lo que el combustible de estas "baterías biológicas" podría ser muy variado. Científicos de la Universidad inglesa de Birmingham han desarrollado una célula de combustible a partir de la "Escherichia coli", una bacteria que consume el azúcar del chocolate y el turrón produciendo hidrógeno. Los investigadores han aprovechado este gas para alimentar la célula de combustible, que genera suficiente electricidad para mover un pequeño ventilador. Este proceso podría aprovecharse además para limpiar por ejemplo los desechos de las fábricas de chocolate, reconvirtiéndolos en electricidad.

Por su parte, investigadores de la Universidad inglesa de Oxford han creado una célula de combustible de hidrógeno que utiliza enzimas, biomoléculas capaces de acelerar una reacción química, en vez de los caros metales que se utilizan normalmente en este sistema. Los científicos de Oxford, que han conseguido con su invención alimentar un reloj digital, señalan que podría ser una alternativa ecológica a las baterías normales para todo tipo de dispositivos portátiles, porque sólo necesitan hidrógeno y oxígeno para producir electricidad, generando agua como desecho.

Baterías eléctricas vivas

La capacidad de ciertas bacterias, que convierten los residuos y otros productos orgánicos en electricidad, está promoviendo el trabajo de varios equipos científicos para convertirlo en una nueva fuente de energía limpia. Las denominadas "células de combustible microbianas" utilizan bacterias para extraer electrones de un combustible orgánico, como carbohidratos, proteínas o residuos en bruto, y conducirlos por un circuito eléctrico.

Además de contribuir a averiguar aspectos desconocidos de la vida microbiana, algunas de estas investigaciones están ya siendo utilizadas en la práctica, como dotar de energía a instrumentos científicos para mediciones de temperatura o presión en lugares remotos, donde las baterías convencionales o los paneles solares no sirven.

No obstante, se trata todavía de experimentos que tardarán años en madurar, según los especialistas que trabajan en este campo. En este sentido, la utilización de estas "baterías vivas" para dar energía a productos electrónicos de consumo o como generadores eléctricos en áreas rurales remotas se encuentra todavía muy lejos de convertirse en realidad.

El desafío más importante de estas bio-baterías es incrementar la capacidad energética y reducir los costes materiales del proceso

A pesar de ello, algunas aplicaciones podrían estar más cerca que otras. Investigadores del Instituto de Biodiseño de la Universidad de Arizona, en Estados Unidos, afirman que las plantas depuradoras podrían aprovechar doblemente a estos microbios para limpiar las aguas y autoabastecerse con la energía resultante en el proceso. Según expertos de la Universidad de Massachusetts, se trata de una de las aplicaciones en las que más se está trabajando, y que podría ser realidad en unos 5 años. La necesidad energética de estas plantas es muy elevada - en Estados Unidos, consumen el 1,5% de la electricidad total - por lo que algunos países en vías de desarrollo ni siquiera se las pueden permitir.

Por su parte, científicos de la Universidad norteamericana de Massachussets han descubierto que las bacterias de la familia "Geobacter" utilizan "nanocables" diez veces más largos que su propio cuerpo en el proceso de oxidación de las moléculas orgánicas con el que obtiene nutrientes. La bacteria usa estos microscópicos tentáculos, compuestos de una proteína llamada "pilin", para conectarse con los cristales de óxido de hierro y transferir los electrones sobrantes. De esta manera, estos "nanocables" podrían utilizarse como conexiones más efectivas para el paso de la corriente eléctrica.

En cualquier caso, el desafío más importante de estas bio-baterías es incrementar la capacidad energética y reducir los costes materiales del proceso. En la actualidad, los experimentos han conseguido un 15% como máximo de la energía que se necesita para que resulte económicamente viable. Por ello, los científicos trabajan en diversas vías de desarrollo, como nuevos materiales para los electrodos del sistema eléctrico; nuevos tipos de microbios, más baratos y efectivos; o nuevos modelos genómicos basados en estas bacterias para aumentar el suministro de electrones.

El descubrimiento de la capacidad microbiana de generar electricidad se atribuye a Michael Potter, de la Universidad inglesa de Durham, que en 1910 consiguió producir una corriente eléctrica al conectar un electrodo en una petaca con levadura con otro electrodo en una solución sin organismos. Sin embargo, el concepto no se retomó hasta pasados los años 60, cuando los investigadores empezaron a comprender mejor los fundamentos de este proceso.